ПРЯМОУГОЛЬНОСТЬ КАК ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ФАКТОР РАЗВИТИЯ ГЕОДЕЗИИ

УДК 528 (091) 528 (092)

SQUARENESS AS GEOMETRIC FACTOR IN THE DEVELOPMENT OF GEODESY

Синянская Мария Леонидовна; Сибирская Государственная Геодезическая Академия (аспирант); 630077, г. Новосибирск, ул.Станиславского 29-291; +7(913)-010-35-56; mariya1989@ngs.ru

Maria Leonidovna Sinanskaa; the Siberian State Academy of Geodesy (graduate student); 630077, Novosibirsk, Stanislavski Street 29-291; +7(913)-010-35-56; mariya1989@ngs.ru

Автором статьи в соавторстве с Тетериным Г.Н. впервые введены в практику и теорию исторических исследований по геодезии «принципы влияния» и «феномен прямого угла». В статье рассмотрен и исследован характер эволюции и использования «принципов влияния» и прямого угла в теории и практике геодезических работ на протяжении всех исторических этапов.

Ключевые слова: «принципы влияния», прямой угол, прямоугольность.

The author of the article in the co-authorship with Teterin G.N. for the first time introduced in the theory and practice of historical research in geodesy «рrinciples of influence» and «the рhenomenon of the right angle». The report considered and investigated the nature of the evolution and use of the «рrinciples of influence» and right angle in the theory and practice of geodetic works for all historical stages.

Key words: «the рrinciples of influence», right angle, squareness.

Прямоугольность – фундаментальное свойство окружающей естественной и искусственной среды. Все что создается и используется человеком освещено знаком прямого угла (ПУ). Это тесно связано с фигурой человека и «принципами влияния» (ПВ). В данной статье представлена значимость ПУ и ПВ в теории и практике геодезических работ на всем историческом промежутке времени. В фигуре человека многие органы и части тела находятся под прямым углом [1]. По крайней мере в фигуре человека (рис.1) с вытянутыми в сторону руками просматривается 6 направлений. Их наличие подтверждается словами: верх, низ, право, лево, прямо, назад. Они постоянно ориентируют человека в его частной и хозяйственной деятельности. Это же позволяет ему в его ориентации во внешней среде с учетом важнейших ориентиров, связанных с циклическими процессами местного и глобального характера, представленными в виде каких-либо точек или линий. Все это явилось основой введения ПВ («принципа 4-х направлений» или 6 направлений: П4Н, П6Н).

Рис. 1 П6Н

Другим ПВ является «принцип вертикаль-горизонталь» (ПВГ). Этот принцип природного происхождения, в отличие от первого принципа (П4Н, П6Н), антропного.

В основе этих ПВ заложен ПУ. Таким образом фигура человека и указанные ПВ стали если не главной причиной окружающей нас повсеместно прямоугольности, то, по меньшей мере, связаны с этим.

В организации окружающего пространства (а подчас и времени) человек применял отмеченные ПВ. Но для реализации рассматриваемых ПВ необходимы какие-либо средства или инструменты. Но в глубокой древности за пределами 3-го тысячелетия до н. э. использование каких-либо геодезических инструментов не отмечено.

Человек по своей природе самодостаточен, т. е. он может выполнять линейные измерения и построение прямого угла, используя свою фигуру. В частности в разбивке земельных угодий на квадраты и прямоугольники он обходился своей фигурой как это показано в работах [1-5]. На рис. 2 показан пример разбивки прямоугольного участка на земле человеком без использования каких-либо инструментов. В одном из этих направлений человек, например, шагами измеряет расстояние АВ. В точке В, как и в А, строится такой же прямой угол и таким же образом откладывается по нему расстояние [5].

Рис. 2 Пример разбивки прямоугольного участка без использования инструментов

Точность измерений и построений, конечно, была самой низкой (первый уровень точности – 10^-1-10^-2).

На втором этапе истории (примерно с 3-го тысячелетия до н. э.) возросла сложность строительных работ и всей хозяйственной деятельности. Потребовалась более высокая точность измерений и построений прямого угла. Настала пора создания геодезических инструментов в реализации ПВ. Это способствовало повышению точности измерений (10^-2-10^-4) и эффективности в осуществлении новых проектов. Материальной реализацией ПВГ стала отвесная линия (вертикаль) и уровень стоячей воды (горизонталь). Прямой угол стал основой в их соединении в первых геодезических приборах: ватерпас и хоробата. Другой ПВ (П4Н, П6Н) реализовался в землемерном кресте, использовавшемся на протяжении пяти тысячелетий.

В дальнейшем, в середине 2-го тысячелетия до н. э., в результате технического прогресса появились геодезические приборы, в которых продолжалось практическое развитие отмеченных ПВ. В эволюции геодезических инструментов сохранялось базовое условие двух ПВ – прямой угол. Техническое совершенствование геодезических инструментов шло не только путем использования и усовершенствования зрительной трубы и отсчетных устройств, но и конструктивных особенностей реализации ПВ и ПУ. В геодезических инструментах присутствует совокупность различных осей (визирная ось, оси вращения: горизонтальная и вертикальная) и плоскостей (вертикальная и горизонтальная, плоскости лимба, алидады). Необходимым условием, в том числе конструктивным и технологическим, стало жесткое условие взаимной перпендикулярности осей и плоскостей. По существу юстировка и основные поверки инструментов сводились к поверке ПУ. Таким образом, геодезические инструменты Нового времени и до середины ХХ века представляли собой инструменты прямого угла. Техническое обеспечение в этих инструментах ПВ и ПУ позволило достигнуть в геодезических измерениях третьего уровня точности (10^-4-10^-6).

Вторым приложением использования ПВ и ПУ стала технология геодезических измерений. В геометрических построениях на земной поверхности стало необходимым использование П4Н в плане ориентации в окружающем пространстве и ПУ, как основы всех геометрических построений. В геодезических ходах на строительных площадках форма хода была прямолинейно-прямоугольной, все точки поворота представляли собой ПУ. Все геометрические построения, выполнявшиеся начиная с древнего времени привязывались к каким-либо ориентирам: точкам, линиям, направлениям. В качестве таковых выступали координатные и ориентирные линии, например, полуденная и линия восхода-захода Солнца, линии меридианов и параллелей, полярные и экваториальные и т. д. В совокупности в каждом варианте они составляли 4 направления и, таким образом, привязка геодезических построений осуществлялась путем реализации П4Н или П6Н. В дальнейшем ориентация геометрических построений (геодезических сетей) осуществлялась в соответствии с принятыми системами координат. Следовательно, как в геодезических инструментах, так и в технологических процессах измерений, помимо ПВ основой решения и реализации геодезических задач был ПУ.

Наконец, в сфере создаваемых объектов вторичной среды (инженерные сооружения) были также необходимы ПВ, в том числе как П4Н, П6Н, так и ПВГ (а потому и ПУ). Именно эта фигура являлась важнейшим элементом любого сооружения. Поэтому очень рано в системе геодезических знаний происходило совершенствование устройств, средств и методов ПУ.

В практике и технологии геодезических работ древнего времени, средневековья и гораздо позже, геометрические построения при возведении городов, храмов, каналов и т. д. осуществлялись по прямоугольно-прямолинейной технологии, т. е. производились линейные измерения, и строился ПУ.

Наглядным примером использования ПВ и ПУ является строительство великих пирамид: Хеопса, Хефрена, Микерина. По источникам строительство указанных пирамид осуществлялось на основе «священного» египетского треугольника (со сторонами 3, 4, 5) и правило «золотого сечения». Из последнего вытекает «золотой» треугольник в соответствии с которым получена высота пирамиды Хеопса. В пирамиде Хефрена наклон боковых граней равняется 53° 12′, что представляет собой угол прямоугольного треугольника 3: 4: 5. Этот прямоугольный треугольник носил название «священного» египетского треугольника. Для разбивки (планировки) квадратного основания пирамид нужны были различные меры для диагонали квадрата и его стороны, так как их соотношение иррационально, иначе, вместо квадрата можно было построить ромб. Египтяне имели соответственно 2 меры (диагонали и стороны). Исходя из древних источников на основе «священного» египетского треугольника определялись пропорции в египетских пирамидах: высота пирамиды (Хеопса), наклон пирамиды (Хефрена), элементы «золотого сечения», а также константы типа постоянной π. Этот «священный» египетский треугольник являлся своего рода «философским камнем» мировоззрения древних египтян. Этот треугольник использовался в архитектуре, в землемерии и даже в мифологии.

Существует два «теоретических» метода построения ПУ, не зависящих от внешней среды и от принципов влияния. Эти методы определяются теорией геометрии (планиметрии) и суть их такова:

С помощью циркуля и линейки можно построить вписанный треугольник в окружность, одна из сторон которого является диаметром этой окружности. Тогда при вершине треугольника противолежащей диаметру получится прямой угол (π/2), т. е. прямоугольный треугольник (рис. 3).
Второй метод построения ПУ сводится к построению прямоугольного треугольника на местности, стороны которого характеризуются одной из групп пифагоровых троек чисел: 3, 4, 5 ед. дл. (или 3n, 4n, 5n, где n = 1, 2, 3,…) (рис. 4). В математике пифагоровыми числами (пифагоровой тройкой) называется кортеж из трех целых чисел (a, b, c), удовлетворяющих соотношению Пифагора: a²+ b²= c². Известны формулы, в соответствии с которыми: a = 2n + 1, b = 2n(n + 1), c = 2n² + 2n + 1, где n – целое число. Их называют «Пифагоровыми тройками».

В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

«Веревочный» вариант прямоугольного треугольника может быть получен и вне рамок пифагоровых чисел. Это могло быть осуществлено по трафарету, шаблону двух перпендикулярных линий [4, 5].

Рис. 3

Рис. 4

Принцип «Вертикаль-горизонталь» заложен во все приборы, как основа их ориентации в процессе измерений. Принцип 4-х направлений стал основой ключевых понятий: азимут, румб, дирекционный угол, четверть круга (прямого угла), в тригонометрических расчетах и т. д. Наконец, система геодезических координат (это в действительности П6Н) является фундаментом всей теории и практики геодезических работ.

Ввиду основополагающей значимости ПУ, с него, по существу, начинались геометрические знания. На основе ПВ вероятно люди могли создавать еще в глубокой древности макет прямого угла – угольник в деревянном или каком-либо другом исполнении, причем различных размеров.

В древнем Египте возводились гномоны, обелиски, стелы — с помощью их вполне возможно определяли линии равноденствий, полуденные линии или им перпендикулярные и т. д.

Перечисленное могло служить основой изготовления шаблонов, трафаретов ПУ в вещественном исполнении (различных размеров и точности). Такие макеты, шаблоны могли использоваться в работах, связанных со строительством, ориентацией в пространстве.

Во втором тысячелетии до н. э., а возможно еще ранее, люди владели знаниями теоремы (без доказательства), которая позднее получила название как теорема Пифагора. По крайней мере, в древних Вавилоне и Египте эти знания существовали.

Теоретический (циркульный) способ построения ПУ пригоден в практике геодезической деятельности. Очевидно, этот способ был удобен для построения шаблона, образца, на котором можно было проверять рабочие меры ПУ, в том числе землемерного креста, угольника и т. д. Приведем пример использования циркульного метода в построении ПУ. Пусть на какой либо стороне хода АВ в точке В требуется построить ПУ. Для этого на основании отрезка АВ строится равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными радиусу окружности, в который вписывается ПУ. Третьей вершиной этого треугольника будет точка О – центр окружности. Затем на продолжении линии АО откладывается отрезок ОС, равный R. В этом случае АС станет диаметром окружности, в который вписан ПУ АВС. Сторона ВС, естественно, является перпендикуляром к АВ. Если точка В или С являются конечными точками хода, то в них легко можно построить прямоугольный треугольник для решения какой-либо инженерной задачи.

Конечно, в точке В построить ПУ к линии АВ можно также с помощью большого угольника или веревочного шаблона, соответствующих размерам египетского треугольника (или пифагоровой тройке).

Таким образом, ПУ в жизни людей, в связи с всеобщей «прямоугольностью» окружающего мира представлял собой фундаментальную геометрическую основу создания вторичной среды и деятельности людей в окружающем пространстве. Реализация всего рассмотренного происходила в сфере теории и практики геодезических знаний. Все перечисленное составляло основу развития и прогресса в области геометрии [1-5].

Разработанные два ПВ и «Феномен прямого угла» применительно к истории геодезии представляют собой выдающийся результат, который объясняет эволюцию и характер развития геодезических знаний как в теории так и в практике.

Литература

Тетерин Г.Н. Феномен и проблемы геодезии: монография / Тетерин Г.Н. – Новосибирск: СГГА, 2009.-95с.
Тетерина М.Л. Древние измерительные системы и два принципа влияния (ПВГ и П4Н) [Текст] / Тетерин Г.Н., Тетерина М.Л. // «ГЕО-Сибирь-2009» V Междунар. выставка и науч. конгр. Т. 1, ч. 1. Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия. – Новосибирск: СГГА, 2009. – С. 123-124.
Синянская М.Л. Феномен прямого угла и прямоугольности в геодезии [Текст] / Тетерин Г.Н., Синянская М.Л. // «ГЕО-Сибирь-2010» VI Междунар. выставка и науч. конгр. Т. 1, ч. 1. Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия. – Новосибирск: СГГА, 2010. – С. 48-51.
Синянская М.Л. Угловые и линейные меры измерений в древнее время [Текст] / Тетерин Г.Н., Синянская М.Л. // «ГЕО-Сибирь-2011» VII Междунар. выставка и науч. конгр. Т. 1, ч. 1. Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия. – Новосибирск: СГГА, 2011. – С. 79-83.
Синянская М.Л. Фактор прямого угла в «принципах влияния» в геодезии [Текст] / Синянская М.Л. // « ИНТЕРЭКСПО ГЕО-Сибирь-2012» VIII Междунар. науч. конгр. и выставка. Т. 1. Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия. – Новосибирск: СГГА, 2012. – С. 106-110.