САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ЕГИПЕТСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК И ГЕОДЕЗИЯ

УДК 528 (091); 528 (092) М.Л. Синянская

Сакральная геометрия, египетский треугольник и геодезия.

Аннотация

Рассмотрено историческое время, условия зарождения и становления геодезического знания. Функциональной основой геодезии древнего времени было землемерие (геометрия) и землеразделение (геодезия). Из этого следует, что основными сферами формирования и развития геодезии было земледелие (землеустройство, кадастр) и строительство, которые как и геодезия этого времени носили сакральный характер, сущность которого представлена в статье.

Ключевые слова: сакральная геометрия, египетский треугольник, прямой угол, землеразделение.

Abstract

Considered historical time, the conditions of the origin and formation of the geodesic knowledge. The functional basis of geodesy ancient time was землемерие (geometry) and zemlerazdelenie (geodesy). From this it follows, that the main spheres of formation and development of geodesy was agriculture (land management, cadastre) and construction, and geodesy this time were of a sacred nature, the essence of which is presented in the article.

Key words: sacred geometry, египетский triangle, right angle, zemlerazdelenie.

Геометрия для древнего времени стала основой организации пространства и времени, основой землеустройства и строительства различных сложных сооружений. Еще греческие философы Платон и Пифагор утверждали, что геометрия лежит в основе организации нашего мира и Вселенной в целом. Известен тезис Иммануила Канта (1724-1804) «геометрия – форма чувственности». Внешняя форма чувственного созерцания – пространство. На нем основана геометрия. В древнее время геометрические знания такого рода вызывали священный трепет. Это составляло основы сакральной геометрии. Геометрия представляет собой историческую первооснову эволюции человечества. Она позволяет понять и использовать пространственно-временные свойства и особенности окружающего мира. Открытие этих свойств и представление их языком геометрии происходило эмпирически, возможно на интуитивном уровне с сакральным наполнением геометрических образов. Процветающие и могущественные цивилизации Месопотамии, древнего Египта имели фундаментальную и основательную систему землеустройства, а в древнем Риме – знаменитый римский кадастр. При межевании, строительстве городов, возведении храмов, дворцов и других сооружений, геометрические построения (фигуры прямоугольника, квадрата, треугольника) на поверхности Земли имели основополагающее значение, их важнейшим составным элементом был прямой угол. Он стал главной геометрической фигурой во всех видах строительства и землемерия, сформировал фундаментальное «прямоугольное» свойство всей вторичной среды.

В древнем Египте существовала легенда о мифическом фараоне Сисострисе, который повелел разделить все земли древнего Египта на квадраты, раздать их земледельцам и взимать соответствующие налоги. Все древние системы межевания представляли собой, как это отмечено в повелении Сисостриса, деление земельных угодий на организованную и упорядоченную систему квадратов. Ее ярким примером являлось центурийное поле древнего Рима, представленное на рис. 1. Оно было получено в результате размежевания земельных угодий по методу центуриации.

Рис. 1. Межевание способом центуриации

В целом организация земельного пространства осуществлялось с помощью системы межевания, в которой межевые линии делили угодия на прямоугольные фигуры (треугольники, четырехугольники), а вся система была ориентирована в пространстве и времени, поскольку главные линии совпадали с линиями или равноденствий, или солнцестояний, или какими-либо другими характерными линиями. Все это представляло собой оптимальную организацию пространства и времени, в которой главными характеристиками являлась форма, размер, пространственное положение (предмет геодезии).

Основной землеустроительной фигурой этого пространства был преимущественно квадрат. Но для построения квадрата был необходим прямой угол. Прямой угол был важнейшей частью без которой было невозможно построить прямоугольные сооружения на земле. Строить прямой угол на земле можно было только с помощью какой-либо измерительной системы, инструмента [1, 3]. Сам прямой угол, считавшийся у древних греков фигурой (а не величиной), использовался повсеместно, в том числе при строительстве городов. В современном градостроительстве полагают, что прямоугольная застройка городов начинается с Гипподама Милетского. В V в. до н. э. он сделал планировку города прямоугольной застройки с сетью улиц, пересекающих друг друга под прямым углом и ориентированных по странам света. По его системе были построены города Приена, Тимгад и Пальмира. Фигуры квадрата и прямоугольника стали повсеместно использоваться при строительстве городов, начиная с древней Греции. Система прямоугольной планировки городов встречалась также много ранее в Индии и Китае. Так в китайском трактате «Чжоу ли», содержащем сведения о городах XII-IX вв. до н.э., сообщается, что «столичный Лой (Лоян) был квадратным в плане, имел девять широтных и девять меридиональных улиц» [1, 2]. Более чем на тысячу лет раньше (2000 лет до н. э.) в схеме возведения египетского города Эль-Лахуна была выражена идея прямоугольности. В период между 2800 и 2500 гг. до н. э. в Индии и Пакистане наблюдался расцвет цивилизации в долине реки Инд: одной из наиболее отличительных их черт является исключительное единообразие в планировке городов. Начало прямоугольной модели застройки в Индии восходит примерно к 3500 г. до н.э.

Квадратные основания были также присущи древним сакральным сооружениям, в том числе трем великим Гизехским пирамидам (Хеопса, Хефрена и Микерина). В древнее время квадрат являлся, в некоторой мере, сакральной фигурой. Когда индусы собирались возвести какое-либо культовое сооружение, они сначала отмечали на земле простой геометрический чертеж, определяя должным образом направления на восток и запад и строя на их основании квадрат. В древнее время квадрат представлялся как базовая форма порядка и совершенства, опора геометрии пространства. В индуизме квадрат характеризовал упорядоченную Вселенную. Квадрат служил моделью многих храмовых сооружений (зиккурат, пирамида, пагода, церковь), которые в свою очередь рассматривались как образ мира.

Реализация размежевания земельных угодий и строительных площадок фигурами прямоугольной формы осуществлялась с помощью землемерных крестов (египетский землемерный крест, римская грома — рис. 2) [1, 3]. С помощью этих приборов строились прямые углы при делении земельных угодий, проведении улиц под прямым углом, а также при строительстве дорожных систем (древний Рим), в которых углы поворота делались прямыми [1, 2].

Рис. 2. Грома

В глубокой древности, в Египте, Месопотамии, Вавилоне жрецы владели секретами построения прямоугольного треугольника, стороны которого определялись соотношением 3: 4: 5. Спустя 2000 лет Пифагор нашел доказательство теоремы о соотношении сторон a²+b²=c² прямоугольного треугольника, знакомство с которым Пифагор имел, когда он был в Египте и общался там с жрецами и писцами. Пифагор также нашел общую формулу подсчета групп трех чисел, соответствующих сторонам этого треугольника. Но самое удивительное, что такого рода группы троек длин сторон священного треугольника египтяне могли подбирать, когда им нужно было проектировать храмы и пирамиды. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 получил в Египте название «священного» треугольника, а позже, начиная с греков — египетского. Сущность египетского треугольника, его смысл, нашел широкое применение в землеустройстве, он использовался для разбивки земельных угодий. На основе египетского треугольника создавался «веревочный шаблон» для построения прямого угла, т. е. на мерной веревке маркировались отрезки в 3, 4, 5 единиц длины. При вынесении прямого угла в местах маркировки выставлялись колышки, натягивавшие веревку, в результате получался египетский треугольник, а в точке, где соединялись 2 катета (3, 4) — прямой угол.

Вся геометрия древнего мира имела сакральное содержание и характеризовалась «божественным влиянием», Промыслом. Египетский треугольник, использовавшийся для разбивки земельных угодий, возведения храмов, дворцов, городов и др., представлял собою мистическое значение. Жрецы Египта треугольник со сторонами 3, 4, 5 именовали «священным». Он символизировал великую триаду богов: Исида, Осирис и их сын Гор (два катета и гипотенуза, олицетворяемая Гором-Соколом) [6].

Квадрат и прямоугольный четырехугольник стали основой деления земельных угодий не только из-за простоты их геометрической формы, но и по причине простоты формулы определения их площади, соответственно как квадрата стороны или произведения его сторон a*b. При делении этих фигур диагональю получаются 2 равных прямоугольных треугольника, площади которых равны половине соответственно квадрата стороны или произведения двух сторон (½ а² или ½ a*b). Из последнего вытекает, что площадь любого треугольника, в котором известна высота h, будет иметь вид S = ½ a*h. Это позволяло древним землемерам использовать при делении земельных угодий на участки не только квадраты, но и треугольники. Но при этом необходимо было в таких треугольниках проводить дополнительную линию (высоту h), чтобы иметь возможность определять площадь, в соответствии с которой можно было взимать налоги. Позже, в I в. н.э., Героном Александрийским была предложена формула определения площади треугольника по трем известным сторонам: S² = p(p-a)(p-b)(p-c), где p = ½ (a + b + c). Таким образом, при использовании этой формулы, не было необходимости на земельных участках проводить дополнительные линии, чтобы определить площадь треугольника. Предполагают, что аналог формулы Герона был известен еще в Индии. Помимо землеустройства, прямоугольный треугольник применялся при решении различных инженерно-технических задач, в том числе 17 перечисленных Героном Александрийским. И в этом отношении характерен пример геометрического обеспечения пробивки километрового туннеля (рис. 3) в подошве горы на острове Самос (530 г. до н.э.) [1, 4, 5]. Геометрическую (геодезическую) интерпретацию обоснования решения задачи пробивки туннеля встречными ходами дал Герон Александрийский спустя 5 столетий.

Рис. 3. Геометрическое обоснование пробивки туннеля на о. Самос

Геометрия древнего времени, позволявшая людям землеустраивать их угодия, формировать земельный кадастр, строить города, создавать сложные прекрасные сооружения, представлялась людям как божественный дар, как чудесное, порой необъяснимое знание, применение которого позволяло процветать государству. Эти знания наполнялись мистикой, мифами и т. п. Такую геометрию сейчас принято называть сакральной. В Древней Греции изучение сущности красоты, таинства прекрасного, основанного на определенных геометрических пропорциях, сформировалось в отдельную ветвь науки, неразрывно связанную с космологией. Древние греки воспринимали Вселенную как обширное пространство разнообразных взаимосвязанных элементов. Сакральная геометрия определяла законы бытия и доводила их до человека посредством языка чисел, углов и отношений. Сакральная геометрия описывала силы самоорганизации, которые формируют мир. Наука сакральной геометрии объединяла материальные аспекты творения с духовной сущностью.

Сакральные геометрические формы не являются просто произведениями искусства. В большинстве сооружений древнего мира (дворцы, храмы и т.д.) были заложены различные геометрические пропорции, определявшие красоту этих сооружений. Одним из основных отношений являлась пропорция, которую греки определяли как «деление в среднем и крайнем отношении». Позднее было установлено, что оно входит в ряд Фибоначчи (1180-1240), который стал именоваться как «золотой ряд», а данная пропорция получила название «золотой», а позднее «божественной». Подтверждение гармоничности во Вселенной отмечено в этом геометрическом принципе — принципе золотого сечения. Это уникальный принцип, который встречается на всех уровнях бытия. Кеплер считал золотое сечение бесценным сокровищем. Божественная пропорция тщательно изучалась греческим скульптором Фидием, соответствующую этой пропорции константу обозначили как «Фи» (φ = 1,618). Число φ может быть найдено повсюду во Вселенной: от спиралей галактик до спирали морской ракушки, от музыкальной гармонии до гармонии в искусстве [6]. Ф-отношение вызывает положительные эмоции. Древние египтяне использовали его при строительстве больших пирамид и в дизайне иероглифов. Если совместить 2 египетских треугольника по смежному отрезку в 3 единицы длины, то образуется равнобедренный треугольник, в котором выражено золотое сечение, божественная пропорция. Этот треугольник заложен в пирамиде Хеопса, в том числе, в расчете ее высоты. На основе египетского треугольника расчитывался наклон граней в пирамиде Хефрена и другие параметры египетского треугольника. Жители Мексики использовали закон φ при возведении пирамиды Солнца. В эпоху Возрождения на основании φ-пропорции воздвигались соборы и храмы. Все геометрические фигуры, встречавшиеся в научном познании об окружающем мире наполнялись сакральным смыслом. Если обратить внимание на формы, преобладающие во Вселенной, то наиболее распространенной является сферическая: планеты, звезды, галактики имеют сферическую форму. В системе геометрической магии круг являлся одной из основных. Круг в древнее время использовался для организации окружающего пространства и времени, связей в них, обеспечивавших хозяйственную (земледельческую) деятельность населения. Наглядным примером является Стоунхендж. Известное древнее сооружение в Англии было возведено предположительно около 5000 лет назад. В нем по окружности диаметром 30 м расположены вертикальные глыбы весом до 25 т, накрытые более легкими горизонтальными плитами. Внутри круга находится 5 гигантских камней (их вес около 50 т). С помощью этой «обсерватории» в течении года фиксировались 6 положений Солнца и 12 положений полной Луны. Таким образом устанавливалась связь между, с одной стороны, хозяйственными (земледельческими) и сакральными, религиозными днями и датами, с другой стороны, временем их осуществления.

Изначальные формы геометрической сакрализации Вселенной являлись те же самые круг, треугольник, квадрат, прямоугольник и их комбинации. Поскольку без знания геометрии и высшей гармонии нельзя вообще что-либо построить, знание ее — ключ к тайнам Вселенной. Имея ввиду, что геометрия это землемерие, используя которое греки создали классическую геометрию, то можно отметить, что эти знания являлись, по существу, геодезическими. Именно это время (IV – III тыс. до н.э.) стало точкой отсчета эволюции геодезии.

Список литературы

Тетерин Г.Н. История геодезии (до ХХ в.). — Новосибирск: изд. ООО «Альянс-Регион». — 2008. — 300 с.
Тетерин Г.Н. История геодезии в градостроительстве и возведении сложных сооружений. – Новосибирск: Сибпринт, 2003. – 116 с.
Тетерин Г.Н. История межевания, землеустройства и земельного кадастра. Новосибирск: Сибпринт, 2007. – 99 с.
Тетерин Г.Н., Синянская М.Л. Биографический и хронологический справочник (Геодезия до ХХ в.). — Новосибирск: изд. Сибпринт, 2009. — 516 с.
Тетерин Г.Н. Феномен и проблемы геодезии. — Новосибирск: изд. СГГА, 2009. — 95с.
Бабанин В.П. Тайна великих пирамид. — Санкт-Петербург: изд. Лань, 1999.